Bab 1

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1, x2, x3, ………, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y = f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya.

Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri.

Proses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik (data) yang ada, dan kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu dimensi.

1.1       Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan Interval Konstan

Polinomial interpolasi kedepan Newton F_f(x) dengan x₀……………… xn-1 sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien a₀, a₁, a₂, …… an tergantung dari x₀, x₁, x₂, …… xn dan nilai f(x) di titik-titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-1) dapat dinyatakan sebagai berikut:

disebut dengan perbedaan kedepan atau forward difference, sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-2) disebut dengan interpolasi kedepan cara Newton. Perbedaan kedepan dihitung sebagai berikut:

Secara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam Tabel 1.1 berikut ini.

1.2 Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk Data dengan Interval Konstan

Polinomial interpolasi kebelakang Newton Fb(x) dengan x₀, ……, xn-1 yang mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui.

Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-4) dapat dinyatakan sebagai berikut:

 disebut perbedaan kebelakang atau backward difference, sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-5) disebut dengan interpolasi kebelakang cara Newton. Untuk n = 6, maka persamaan (1-5) menjadi:

Perbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut:

Secara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam Tabel 1.2 berikut ini.

1.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk Data dengan Interval Tidak Konstan

Polinomial Interpolasi Lagrange F(x) dengan x0, ……, xn-1 mempunyai interval (Δx) tidak konstan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien a0, a1, a2, …… an tergantung dari x0, x1, x2, …… xn dan nilai f(x) di titik-titik tersebut. Koefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut:

Dengan mensubstitusi persamaan (1-9) ke dalam persamaan (1-8), maka diperoleh persamaan polinomial interpolasi Lagrange yang dinyatakan sebagai berikut:

Persamaan (1-10) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y, sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.

1.4. Interpolasi Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak Konstan

Polinomial interpolasi Newton F(x) untuk data dengan interval (Δx) tidak konstan dikembangkan dari polinomial interpolasi Lagrange dan Newton dan dinyatakan dengan:

Koefisien b0, b1, b2, …… bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x)0, f(x)1, f(x2), …… f(xn) dan dihitung sebagai berikut:

Secara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) diberikan berikut ini.

1.5. Interpolasi dengan Lengkung Kubik (Cubic Spline) untuk

Data dengan Interval Sembarang

Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = f(x), dengan kemiringan (slope) dan kurvatur (curvature) yang sama di sekitar titik x interpolasi. Untuk interval antara xi–1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai turunan kedua sebagai berikut:

γ adalah koefisien yan tergantung dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas pada interval xi-1 dan xi akan menghasilkan:

Sedangkan pada interval xi dan xi+1 akan menghasilkan:

Jika persamaan (1-14) diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan persamaan berikut:

sedangkan integrasi persamaan (1-15) akan menghasilkan persamaan berikut:

c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan:

Lengkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai bentuk:

selanjutnya:

dimana  y^'(-)i adalah turunan di sebelah kiri titik x = xi. Demikian juga lengkung kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1) mempunyai ekspresi:

selanjutnya:

dimana y^'(+)i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. Turunan di sebelah kiri dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi, sehingga:

dengan pengaturan selanjutnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut:

Untuk titik (data) sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka jumlah bilangan tidak diketahui akan berjumlah (n+1) buah, yi” = 0,…n. Agar sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0 dan i = n. Kedua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas, dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut:

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut:

 [A] adalah matriks koefisien a_ij berupa matriks tridiagonal yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut:

{M} adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa yi”, sedangkan {D} adalah vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut:

Jika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut:

Turunan y'^(-)i dan y'⁽⁺⁾i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan (1-21) dan (1-23). Seringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak diketahui. Transformasi kurvatur menjadi turunan mudah dilakukan.

Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:

1.6. Interpolasi dengan Trigoneometri untuk Data Periodik

Jika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. Salah satunya dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien c0, c1, c2, …… cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x0), f(x1), f(x2), …… f(xn) dan dihitung sebagai berikut:

Persamaan (1-13) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y, sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.

1.7. Contoh Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk  Data dengan Interval Konstan

Persoalan

Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450,5.

Jawaban:

Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300,5. Perhitungan perbedaan nilai kedepan diberikan berikut ini.

Ekstrapolasi kedepan cara Newton berdasar persamaan (1-2) menghasilkan polinomial ekstrapolasi dan posisi planet Mars pada t = 1450,5 sebagai berikut:

1.8. Contoh Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan:

Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai berikut:

Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk elevasi topografi berdasar data pada x = 3.2, 4.4, 5.0, 6.0, 7.1 dan 8.2 (6 data). Selanjutnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 5.5.

Jawaban:

Fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk data dengan interval tidak konstan dinyatakan dalam persamaan (1-11). Harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) dihitung dalam tabel berikut ini.

Polinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam Tabel 1.6 adalah:

Dengan demikian untuk x = 5.5, maka ketinggiannya adalah:

1.9. Contoh Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan:

Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Pulau Reunion) memuntahkan material dengan komposisi kimia yang berubah terhadap waktu. Pengukuran rasio (Ce/Yb)N selama interval 1948-1985 yang diambil dari lava erupsi diberikan dalam Tabel 1.7. Dari data ini diminta memperkirakan rasio (Ce/Yb)N pada tahun 1960.

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian:

Step 1:

membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-29), misalnya:

Akhirnya matriks koefisien [A] mempunyai harga sebagai berikut:

Step 2:

membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-30) dengan asumsi bahwa

turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya:

Setelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor {D} akan berharga:

Step 3:

menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan (1-28), maka sistem

persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut:

Vektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh:

Step 4:

menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar persamaan (1-21) dan (1-23) yang diberikan dalam Tabel 1.8 berikut ini:

1.10. Contoh Kasus Ekstrapolasi Trigoneometri untuk

Data dengan Interval Konstan

Persoalan

Posisi planet Mars secara berkala ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini kita diminta memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450.5.

Jawaban:

Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat dikerjakan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300.5 (perhatikan kembali Tabel 1.4). Perhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut ini.

Koefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan (1-33) akan menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.

Hasil ekstrapolasi cara trigoneometri (127648) berbeda cukup jauh dengan hasil ekstrapolasi kedepan cara Newton (-58122,08). Hal ini disebabkan oleh ketelitian masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme pengukuran kesalahan. Selain itu tidak ada informasi posisi planet Mars pada t = 1450.5 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya, lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Newton.

1.11. Komentar

Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali. Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya. Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode lainnya.

Kata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana tidak disertakan hal-hal berikut ini: kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi ketelitian interpolasi. Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertujuan hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi data dalam fungsi sederhana. Hasil interpolasinya sendiri bukan merupakan tujuan dari bab ini.

Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik (spasial statistik), baik untuk satu maupun multi dimensi. Hasil interpolasi dengan ketelitiannya yang optimal merupakan tujuan dari Bagian III. Dengan demikian keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif.

Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab 1 dapat disimpulkan, bahwa masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuan koefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak ditentukan misalnya tergantung dari jarak antara titik interpolasi dan titik-titik lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari jarak. Jadi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih jauh dari titik interpolasi.

Untuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III, karena ketelitiannya dapat dipertanggungjawabkan dan diuji secara statistik serta sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.